Mirrahimi, Mazyar (2005) Dynamique et contrôle des systèmes quantiques. PhD thesis Mathematiques et Automatique, ENSMP - CAS Centre Automatique et Systèmes, ENSMP p.151.

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Abstract

Dans cette thèse, nous étudions trois classes de modèles utilisés dans la littérature pour représenter les systèmes quantiques:

1 -L'équation de Schrödinger où le contrôle agit sur le système de façon bilinéaire;

2 -L'équation de Lindblad;

3 -Les filtres quantiques (modèles stochastiques).

Les contributions de la thèse concernant l'équation de

Schrödinger se répartissent en trois parties.

Dans le premier chapitre, nous étudions la contrôlabilité d'un tel système. Le cas de dimension finie étant déjà bien exploré, nous traitons l'exemple d'un oscillateur harmonique quantique comme un cas typique des problèmes de dimension infinie. Parmi les résultats obtenus nous retrouvons transposée dans les termes de la théorie du contrôle, l'assertion bien connue des physiciens: ``les sources classiques de contrôle ne peuvent générer que de la lumière classique''.

La question de la génération des trajectoires est abordée dans le Chapitre 2. Le contrôle en boucle ouverte du système est alors traité à l'aide des méthodes de stabilisation de Lyapounov. Ces méthodes de contrôle par feedback sont utilisées en simulation et le contrôle retrouvé est ensuite inséré en boucle ouverte dans le système physique. La convergence est étudiée dans différentes configurations et des exemples numériques tirés de la chimie quantique sont testés.

Enfin dans le chapitre 3, nous étudions le problème inverse d'identification de l'Hamiltonien. Malgré le grand intérêt pratique que présente ce problème, peu de contributions ont été apportées jusqu'à maintenant. Nous étudions d'abord le problème mathématique d'identifiabilité. Une première réponse positive à cette question est apportée. Ensuite nous considérons le problème d'identification. A l'aide de méthodes numériques d'optimisation, nous proposons une première approche qui permet de résoudre ce problème inverse.

Au sujet de l'équation de Lindblad, la contribution de cette thése se résume à la réduction du modèle lorsque certaines hypothèses sur les durées de vie atomiques sont vérifiées. Cette étude peut être considérée comme une première étape vers le contrôle en boucle fermée d'un ensemble statistique de systèmes quantiques.

Finalement dans le chapitre 5, nous considérons les filtres quantiques. Certaines méthodes issues de la théorie des probabilités ainsi que les techniques de Lyapounov stochastiques nous permettent d'étudier la stabilisation globale de ces modéles.

Table of content

Introduction 13

1 Contrôlabilité 19

1.1 Contrôlabilité des oscillateurs harmoniques quantiques - 20

1.1.1 Cas uni-dimensionnel - 21

1.1.2 Cas de dimension n - 23

1.1.3 Particule dans un puits de potentiel en mouvement - 24

1.2 Champs électromagnétiques et sources classiques - 25

1.2.1 Nouvelle formulation pour le problème des oscillateurs - 25

1.2.2 Cavité avec des sources classiques de courant - 26

1.3 Modèle de Jaynes-Cummings avec contrôle - 28

1.4 Contrôle des ions piégés par laser - 30

2 Génération de trajectoires - 33

2.1 Contrôle Lyapounov - 34

2.1.1 Dynamiques et phase globale - 35

2.1.2 Contrôle Lyapounov - 35

2.1.3 Exemples et Simulations - 36

2.1.4 Analyse de convergence - 38

2.1.5 Suivi de trajectoires pour les références adiabatiques - 43

2.2 Suivi de trajectoires - 46

2.3 Modèles de la chimie quantique - 50

2.3.1 Problème de contrôle et méthode de Lyapounov - 50

2.3.2 Simulations numériques - 54

2.3.3 Un algorithme monotone - 58

2.4 Stabilisation sous les hypothèses relaxées - 60

2.4.1 Etat cible isolé - 62

2.4.2 Analyse de convergence - 65

2.4.3 Cas dégénéré - 67

2.4.4 Simulations numériques - 67

2.5 Discussions pour le cas de dimension infinie - 68

3 Identification de l'Hamiltonien - 77

3.1 Unicité - 79

3.1.1 S1: Hamiltonien connu et moment dipolaire inconnu - 79

3.1.2 S2: l'Hamiltonien et le moment dipolaire inconnus - 83

3.2 Vers un algorithme numérique - 91

3.2.1 Identification optimale - 91

3.2.2 Etape d'inversion - 92

3.2.3 Etape de la sélection du contrôle - 93

3.2.4 Illustration numérique - 93

4 Mesure continue d'un ensemble statistique - 97

4.1 Système à 3 états - 98

4.1.1 Approximation des champs tournants - 99

4.1.2 Approximation adiabatique - 100

4.2 Un simple régulateur PI - 102

4.3 Système de Lindblad lent/rapide - 103

5 Stabilisation pour les modèles stochastiques - 107

5.1 Contrôle par feedback d'un système à deux qubits - 109

5.2 Filtres quantiques: les propriétés mathématiques - 113

5.3 Systèmes du moment angulaire - 118

5.4 Système à deux-qubits - 129

Conclusion - 133

A Contrôlabilité des systèmes quantiques - 135

B Systèmes lents/rapides - 137

C Lyapounov stochastiques - 139

D Théorème de support - 141

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