Badeau, Roland (2005) High resolution methods for estimating and tracking modulated sinusoids. Application to music signals. PhD thesis Signal et Images, ENST - TSI Traitement du Signal et des Images, ENST.

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Abstract

In the field of speech and music signals analysis, the tonal part of a broad variety of sounds is often represented as a sum of sinusoids with slowly varying parameters. The Fourier transform remains a prominent tool for estimating the parameters of this model. This is due to its robustness and to the existence of fast algorithms. However, its spectral resolution is bounded. High Resolution (HR) methods are conversely not constrained by this limit, since they rely on a particular structure of the signal model. Nevertheless, they are seldom used in the field of audio signal processing, mainly because of their high computational cost. The reduction of this complexity is one of the major contributions of this thesis. To track the temporal variations of the parameters, fast subspace tracking algorithms (referred to as FAPI, YAST and SWASVD) and an adaptive version of the ESPRIT method are developed. Their application to audio signals is not straightforward: the number of sinusoidal components is unknown and the nature and the variety of these signals lead to specific difficulties. Preprocessings are developed to ensure the robustness of the HR analysis, and a new model order selection method is proposed. Lastly, a part of the document is devoted to the estimation of mixtures of complex exponentials modulated by polynomials, resulting from the presence of multiple poles. This study leads to the development of a generalized version of the ESPRIT method and to the statistical analysis of its performance.

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Table of content

Remerciements i
Table des matières ii
Table des figures vii
Liste des tableaux ix
Acronymes x
Notations xii
Introduction 1
Partie I Modèle de signal et méthodes d'estimation 7
I État de l'art des méthodes à haute résolution 9
I.1 Introduction 10
I.2 Modèle de signal 10
I.3 Méthode du maximum de vraisemblance 11
I.3.1 Application du principe du maximum de vraisemblance au modèle ESM 12
I.3.2 Maximum de vraisemblance et résolution de Fourier 13
I.4 Méthodes à haute résolution 14
I.4.1 Techniques de prédiction linéaire 14
I.4.2 Méthodes sous-espace 17
I.5 Estimation des autres paramètres 20
I.5.1 Estimation de l'ordre de modélisation 20
I.5.2 Estimation des amplitudes, des phases et de l'écart-type du bruit 21
I.6 Performances des estimateurs 21
I.6.1 Borne de Cramer-Rao 21
I.6.2 Performances des méthodes HR 23
I.7 Conclusion 24
II Estimation des paramètres dans le cas de pôles multiples 25
II.1 Introduction 26
II.2 Le modèle Polynomial Amplitude Complex Exponentials 26
II.2.1 Equations de récurrence linéaires et homogènes 26
II.2.2 Polynômes binomiaux 27
II.2.3 Paramétrisation complète du modèle de signal 27
II.3 Les matrices de Pascal-Vandermonde 28
II.4 Méthode du maximum de vraisemblance 30
II.5 Généralisation de l'algorithme ESPRIT 31
II.5.1 Structure singulière de la matrice de données 31
II.5.2 Structure singulière de la matrice de corrélation 33
II.5.3 L'algorithme ESPRIT généralisé 33
II.6 Estimation des amplitudes, des phases et de l'écart-type du bruit 34
II.7 Conclusion 34
III Performances de l'algorithme ESPRIT généralisé 35
III.1 Introduction 36
III.2 Bornes de Cramér-Rao 36
III.2.1 Bornes de Cramér-Rao pour le modèle PACE 36
III.2.2 Bornes de Cramér-Rao asymptotiques 38
III.3 Etude des perturbations et de la performance des estimateurs 39
III.3.1 Perturbations induites par le bruit additif 39
III.3.2 Performance des estimateurs 44
III.4 Simulations numériques 47
III.4.1 Modèle de signal réel 48
III.4.2 Modulation d'amplitude polynomiale 49
III.4.3 Modulation d'amplitude et de fréquence 49
III.5 Conclusion 50
IV Estimation de l'ordre de modélisation 53
IV.1 Introduction 54
IV.2 Impact d'un ordre de modélisation erroné 54
IV.2.1 Sur-estimation de l'ordre du modèle 54
IV.2.2 Sous-estimation de l'ordre du modèle 55
IV.3 Sélection d'un ordre de modélisation approprié reposant sur l'erreur d'estimation 56
IV.3.1 Calcul récursif de (p) 57
IV.3.2 Calcul récursif de E(p) 58
IV.4 Simulations numériques 59
IV.4.1 Pertinence des bornes d'erreur a priori et a posteriori 59
IV.4.2 Sélection de l'ordre du modèle pour un signal synthétique 60
IV.4.3 Comparaison statistique des performances 62
IV.4.4 Sélection de l'ordre du modèle pour un signal de musique 63
IV.5 Conclusion 64
V Optimisation de l'algorithme d'estimation 67
V.1 Introduction 68
V.2 Estimation de l'espace signal 68
V.2.1 Algorithme d'itération orthogonale 69
V.2.2 Produit matriciel rapide 70
V.3 Optimisation des autres étapes 71
V.3.1 Calcul de la matrice spectrale 71
V.3.2 Estimation des amplitudes 72
V.4 Conclusion 73
Partie II Algorithmes rapides de poursuite des paramètres 75
VI Etat de l'art des techniques de poursuite de l'espace signal et des pôles 77
VI.1 Introduction 78
VI.2 Poursuite de l'espace signal 78
VI.2.1 Étude préliminaire 78
VI.2.2 Méthode des puissances itérées 80
VI.2.3 Algorithmes adaptatifs de poursuite de l'espace signal 81
VI.3 Poursuite de la matrice spectrale et des pôles 85
VI.4 Conclusion 86
VII Approximation de la méthode des puissances itérées 89
VII.1 Introduction 90
VII.2 Fenêtrage des données 90
VII.3 L'approximation par projection 91
VII.4 Approximation des Puissances Itérées 92
VII.4.1 Récurrence pour la matrice Cxy(t) 92
VII.4.2 Récurrence pour la matrice Z(t) 94
VII.4.3 Récurrence pour la matrice W(t) 94
VII.5 Méthode API rapide 95
VII.5.1 Une solution particulière à l'équation (VII.33) 95
VII.5.2 Implémentation rapide de la solution particulière 98
VII.6 Lien avec les algorithmes PAST et OPAST 99
VII.7 Poursuite des valeurs et vecteurs propres principaux de la matrice de corrélation 99
VII.8 Simulations numériques 101
VII.8.1 Comparaison de FAPI et TW-FAPI avec d'autres algorithmes existants 101
VII.8.2 Comportement de la méthode API vis-à-vis du RSB et de n et r 106
VII.9 Conclusion 108
VIII Yet Another Subspace Tracker 109
VIII.1 Introduction 110
VIII.2 Principe 110
VIII.3 Implémentation rapide de YAST 111
VIII.3.1 Calcul de W(t) 112
VIII.3.2 Calcul de Z(t) 112
VIII.3.3 Mise à jour de W(t) 114
VIII.3.4 Mise à jour de Z(t) 115
VIII.3.5 Implémentation 115
VIII.4 Simulations numériques 116
VIII.5 Conclusion 117
IX Suivi des pôles et des amplitudes complexes 121
IX.1 Introduction 122
IX.2 Suivi de la matrice spectrale 122
IX.3 Suivi des pôles 123
IX.3.1 Algorithme d'itération orthogonale séquentiel avec décalage 123
IX.3.2 Mise à jour exacte 125
IX.4 Simulations numériques 128
IX.5 Suivi des amplitudes complexes 129
IX.6 Conclusion 130
Partie III Application aux signaux de musique 131
X Analyse à haute résolution des signaux de musique 133
X.1 Introduction 134
X.2 Potentiel des méthodes HR pour l'analyse du signal de musique 134
X.2.1 Trémolo 134
X.2.2 Vibrato 136
X.2.3 Glissando 137
X.2.4 Modulations induites par les pôles multiples 139
X.3 Limites des méthodes HR pour l'analyse du signal de musique 140
X.3.1 Couleur du bruit 141
X.3.2 Importance perceptive relative des composantes sinusoïdales 142
X.3.3 Ordre de modélisation et stabilité numérique 142
X.4 Mise en oeuvre des méthodes HR 143
X.4.1 Techniques d'estimation du signal dans un bruit coloré 143
X.4.2 Introduction d'une connaissance psycho-acoustique 144
X.4.3 Découpage en sous-bandes 144
X.5 Conclusion 145
XI Système complet d'analyse / synthèse 147
XI.1 Introduction 148
XI.2 Décomposition du signal en sous-bandes 148
XI.2.1 Pré-accentuation du signal 148
XI.2.2 Découpage uniforme ou non uniforme 149
XI.2.3 Analyse multi-résolution 150
XI.2.4 Bancs de filtres en cosinus modulés et découpage non uniforme 151
XI.3 Blanchiment du bruit 153
XI.3.1 Blanchiment d'un processus AR 154
XI.3.2 Blanchiment d'un signal comportant des sinusoïdes 154
XI.4 Analyse HR des signaux de sous-bandes 156
XI.5 Traitements applicables dans les sous-bandes 157
XI.5.1 Débruitage du signal et extraction du bruit 157
XI.5.2 Estimation du rythme musical basée sur l'extraction du bruit 159
XI.6 Conclusion 162
Conclusions et perspectives 163
Partie IV Annexes 167
A Résultats de la première partie 169
A.1 Introduction 170
A.2 Modèle PACE 170
A.3 Déterminant de la matrice Pascal-Vandermonde 171
A.4 Propriété d'invariance rotationnelle des matrices de Pascal généralisées 174
A.5 Factorisation de la matrice de données 174
A.6 Caractérisation des matrices de Hankel singulières 175
A.7 Bornes de Cramér-Rao 177
A.7.1 Bornes générales pour le modèle PACE 177
A.7.2 Bornes asymptotiques 181
A.8 Lemmes d'inversion matricielle 182
A.9 Performance des estimateurs 182
A.9.1 Perturbation de l'espace signal 182
A.9.2 Perturbation de la matrice spectrale 183
A.9.3 Perturbation des pôles 184
A.9.4 Perturbation des amplitudes et des phases 185
A.9.5 Performance des estimateurs au premier ordre 186
A.9.6 Performances asymptotiques 188
A.10 Borne d'erreur a priori 190
B Résultats de la deuxième partie 193
B.1 Introduction 194
B.2 Moyenne géométrique des valeurs propres de Rss(t) 194
B.3 Approximation de la méthode des puissances itérées 194
B.4 Algorithme SW-NIC 195
B.5 Mise à jour des pôles 195
B.5.1 Modification de la structure propre par ajout d'une matrice de rang un 195
B.5.2 Modification de la structure propre par ajout d'une matrice de rang faible 197
C Articles 199
Bibliographie 221
Index 229

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