Camier, Cédric (2009) Modélisation et étude numérique des vibrations non-linéaires de plaques circulaires minces imparfaites : application aux cymbales. PhD thesis Mécanique, Unité de Mécanique de l'ENSTA, EP/X p.176.

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Abstract

En mode normal de jeu, les instruments de percussion de la famille des gongs et des cymbales sont soumis à de fortes sollicitations qui imposent à ces structures minces un mouvement de grande amplitude (non-linéarité géométrique), siège d'une phénoménologie

complexe : dépendance des fréquences avec l'amplitude, sauts, hystérésis, transferts d'énergie entre modes, vibrations

chaotiques. Dans le but de raffiner la modélisation de ces

comportements, le premier point de ces travaux se concentre sur l'influence d'imperfections géométriques. Le modèle de vibration de plaque circulaire parfaite (von karman), en condition de bord libre, a ainsi été modifié de manière à pouvoir formuler analytiquement les nouveaux termes linéaires et non-linéaires. L'étude s'enrichit d'une analyse détaillée de l'influence de défauts de forme typiques décrivant l'effet drastique d'imperfections d'amplitude très petite sur les caractéristiques

vibratoires (fréquences propres et tendances de non-linéarité

notamment). Le modèle est confronté à des analyses expérimentales effectuées sur des coques de laboratoire. La comparaison offre d'excellents résultats alors que les études minutieuses de convergence révèlent l'influence d'autres types d'imperfections au sein des coques testées.

Le second point a trait à l'étude numérique de la transition vers le chaos, observée lorsqu'une cymbale est excitée harmoniquement avec une force d'amplitude croissante. Les travaux menés ont abouti à la définition d'un schéma numérique conservant l'énergie, adapté à la formulation modale de la dynamique de la plaque imparfaite. Une étude complète des performances d'une large panoplie d'intégrateurs temporels, incluant le schéma développé, a été menée avec succès sur un oscillateur de Duffing~; elle révèle que les états limites trouvés par certains intégrateurs, aux temps longs et pour des régimes très fortement non-linéaires, diffèrent qualitativement de ceux obtenus par les schémas structurellement conservatifs. L'extension au cas à plusieurs degrés de liberté est entamée.

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Table of content

Chapitre 1 Introduction 1

1.1 Applications de l'étude

1.1.1 Applications musicales

1.1.2 Applications industrielles

1.2 Cadre de l'étude

1.2.1 Vibrations non-linéaires de coques

1.2.2 Modèles récents

1.2.3 Modèle étendu et organisation du manuscrit



I Effet des imperfections géométriques sur les vibrations non-linéaires de

plaques circulaires minces



Chapitre 2 Imperfections géométriques

2.1 Introduction

2.2 Expérience sur une coque de laboratoire

2.3 Comparaison au modèle de coque sphérique mince

2.3.1 Comparaison sur les modes propres

2.3.2 Quelques éléments de comparaison sur des coefficients non-linéaires .

2.4 Autres exemples de la littérature

Chapitre 3 Modèle de plaque circulaire imparfaite

3.1 Équations non-linéaires des plaques circulaires minces parfaitement planes

3.1.1 Hypothèses

3.1.2 Équations locales

3.1.3 Conditions aux limites

3.1.4 Adimensionnement

3.1.5 Projection modale

3.2 Équations non-linéaires des plaques circulaires minces imparfaites

3.2.1 Définition du défaut de forme

3.2.2 Ajout d'un défaut dans les équations locales du cas parfait

3.2.3 Projection modale

3.2.4 Diagonalisation du problème

3.2.5 Discussion et introduction aux études de convergence

Chapitre 4 Application à quelques défauts de forme

4.1 Introduction

4.2 Calcul de la tendance de non-linéarité

4.3 Cas d'un défaut de forme sphérique

4.3.1 Comparaison théorique avec le modèle de coque sphérique mince

4.3.2 Comparaisons des résultats entre différents modèles analytiques

4.4 Cas de défauts axisymétriques

4.4.1 Introduction

4.4.2 Imperfection de la forme du mode (0,1)

4.4.3 Imperfection de la forme du mode (0,2)

4.5 Cas de défauts asymétriques

4.5.1 Imperfection de la forme du mode (2,0)

4.5.2 Imperfection de la forme du mode (3,0)

4.6 Conclusion sur les cas d'imperfections de formes données

Chapitre 5 Cas de coques de laboratoire

5.1 Introduction

5.2 Mesure de la géométrie

5.3 Projection géométrique

5.4 Comparaison sur les fréquences propres

5.5 Comparaisons dans le domaine non-linéaire

5.5.1 Cas d'une résonance interne 1:1: 2

5.5.2 Coefficients quadratiques

5.6 Mise en évidence de l'erreur de projection

5.7 Prise en compte de cette erreur. Retour sur les résultats.

5.7.1 Nouveaux résultats sur les coefficients non-linéaires et développements

5.7.2 Influence des coefficients cubiques

5.7.3 Résultats sur d'autres coques de laboratoire

5.8 Discussion



II Étude numérique de la transition vers le chaos



Chapitre 6 Introduction

6.1 Expérience à reproduire

6.1.1 Protocole de mesure

6.1.2 Observations

6.1.3 Stratégie

6.2 Rappel sur la dynamique à intégrer

6.2.1 Équations

6.2.2 Difficultés numériques

Chapitre 7 Schémas numériques

7.1 État de l'art

7.2 Définition de quelques opérateurs aux différences finies

7.3 Quelques propriétés sur les intégrateurs temporels numériques

7.3.1 Consistance

7.3.2 Stabilité

7.3.3 Convergence

7.3.4 Ordre

7.4 Méthodes de Runge-Kutta

7.5 Méthodes multi-pas

7.5.1 Méthodes d'Adams

7.5.2 Méthodes des di_érentiations rétrogrades

7.6 Méthode de Störmer-Verlet

Chapitre 8 Schémas conservatifs

8.1 Propriété des systèmes Hamiltoniens

8.1.1 Définition du Hamiltonien

8.1.2 Propriété de symplecticité

8.2 Exemple de l'oscillateur de Duffing

Chapitre 9 Application à un oscillateur de Duffing

9.1 Expériences numériques tests

9.2 Écriture des différentes méthodes

9.2.1 Méthode de Störmer-Verlet

9.2.2 Méthodes de Runge-Kutta explicites

9.2.3 Méthode des différentiations rétrogrades

9.2.4 Implémentation

9.3 Comparaison des simulations

9.3.1 Cas d'une excitation harmonique à faible amplitude

9.3.2 Cas d'une excitation harmonique à forte amplitude

9.3.3 Cas particulier d'un diagramme de bifurcation jusqu'un forçage très

élevé

9.3.4 Cas d'une excitation impulsionnelle

Chapitre 10 Application au système à N degrés de liberté

10.1 Énergie continue dérivée des équations modales de plaques imparfaites

10.2 Construction du schéma conservatif appliqué à la dynamique des plaques imparfaites

10.3 Implémentation

10.4 Résultats dans le cas d'un flot autonome

10.4.1 Expérience numérique test

10.4.2 Méthode de Störmer-Verlet

10.4.3 Méthode conservative

Chapitre 11 Conclusions générales et perspectives

11.1 Étude de l'effet du défaut de forme

11.1.1 Principaux résultats

11.1.2 Applications

11.1.3 Perspectives

11.2 Intégrateurs numériques

11.2.1 Principaux résultats

11.2.2 Premières conclusions et suite des travaux



Bibliographie



Annexe A Variation de l'épaisseur sur le pourtour de la coque 3

Annexe B Imperfections de la forme de cymbales

Statistiques de consultation

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