Bruchon, Julien (2004) Etude de la formation d'une structure de mousse par simulation directe de l'expansion de bulles dans une matrice liquide polymère. PhD thesis Mécanique Numérique, ENSMP - CEMEF Centre de Mise en Forme des Matériaux, ENSMP.

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Abstract

In this contribution, a numerical tool is developed in order to simulate the inflation of a polymer foam. A sample of foam is considered as a set of gas bubbles growing in a polymer matrix. This growth is due to a difference of pressure. A velocity - pressure formulation is established over the liquid and the gaseous parts. The computation of the gas pressure, uniform in each bubble, requires to follow individually each bubble: our approach is multidomain. In an eulerian framework, each domain is represented by its characteristic function, which is solution of a transport equation. A space-time discontinuous Galerkin method has been developed to solve this kind of purely convective equations. The stability of this implicit method does not depend on the time step. Furthermore, the interface location is improved by a r-adaptation technique. Finally, in order to preserve the amount of liquid along the expansion, a global expansion motion is introduced: the computation volume grows with the foam. Using this methodology, the formation of a foam structure can be simulated: bubbles, occupying initially few percents of the whole volume, grow to occupy, finally, more than 80% of this volume. The liquid is then trapped between bubbles, creating polyhedric cells. This local approach is used to determinate evolution laws of the viscosity and growth rate of a foam sample, with respect to its structure. Using a micro-macro transition, these laws are employed to simulate the macroscopic expansion of a polymer foam.

Table of content

Table des matières
1 Sur la structure cellulaire des mousses
1.1 Introduction
1.2 Les mousses polymère
1.2.1 Classfication des mousses polymère
1.2.2 Formation d'une structure de mousse
1.2.2.1 Phase de germination
1.2.2.2 Phase d'expansion
1.2.3 Procédés de fabrication des mousses polymère
1.2.3.1 Extrusion des mousses polymère
1.2.3.2 Injection des mousses polymère
1.2.4 Rhéologie d'une mousse polymère
1.2.4.1 Contrainte seuil
1.2.4.2 Régime d'écoulement
1.2.5 Modélisation et simulation de l'expansion d'une mousse polymère
1.2.5.1 Modèle cellulaire
1.2.5.2 Couplage micro/macro
1.3 Les mousses de savon
1.3.1 Lois d'équilibre local
1.3.1.1 Loi de Laplace-Young
1.3.1.2 Lois de Plateau
1.3.2 Comportement d'une mousse
1.3.2.1 Régime élastique
1.3.2.2 Régime plastique - régime d'écoulement
1.3.3 Simulation numérique d'une mousse de savon
1.3.3.1 Simulation de microstructure par minimisation locale de l'énergie
1.3.3.2 Application
1.4 Conclusion
2 Expansion d'une bulle de gaz dans une matrice polymère
2.1 Introduction
2.2 Construction du modèle physique
2.2.1 Conservation de la masse
2.2.2 Conservation de la quantité de mouvement
2.2.2.1 Conditions aux bords
2.2.2.2 Lois de comportement du polymère
2.2.3 Les équations mécaniques dans le liquide - Résumé
2.3 Discrétisation du système en vitesse - pression
2.3.1 Formulation variationnelle mixte en vitesse - pression du problème mécanique
2.3.1.1 Prolongement des champs vitesse et pression dans le gaz
2.3.1.2 Formulation variationnelle du problème mécanique
2.3.1.3 Introduction des fonctions caractéristiques
2.3.2 Discrétisation de la forme faible du problème mécanique
2.4 Suivi de l'évolution des domaines: résolution de l'équation de transport
2.4.1 Introduction
2.4.2 Une technique espace-temps Galerkin discontinu
2.4.3 Estimateur d'erreur a posteriori sur les fonctions caractéristiques
2.4.4 Amélioration de la description des interfaces: une technique de r-adaptation de maillage
2.4.5 Etude de la méthode espace-temps Galerkin discontinu
2.4.5.1 Cas 1D
2.4.5.2 Transport pseudo-2D d'un cercle
2.4.5.3 Test de Zalesak
2.4.5.4 Etude 3D de l'expansion d'une sphère
2.4.5.5 Etude d'un cas de déformation
2.5 Implémentation des méthodes numériques dans le code REM3D
2.6 Expansion d'une bulle de gaz dans une matrice liquide
2.6.1 Modèle micro-mécanique de l'expansion d'une cellule
2.6.1.1 Pression du gaz constante
2.6.1.2 Loi des gaz parfaits
2.6.2 Simulation de l'expansion d'une cellule
2.6.2.1 échelle spatiale - échelle temporelle
2.6.2.2 Calcul du pas de temps
2.6.2.3 Résultats
2.7 Couplage thermo-mécanique
2.7.1 Construction du modèle physique
2.7.1.1 Comportement anisotherme d'une bulle de gaz
2.7.2 Résolution du problème thermique
2.7.2.1 Prolongement du problème thermique dans le gaz
2.7.2.2 Discrétisation du problème thermique
2.7.3 Expansion anisotherme d'une bulle dans une matrice polymère
2.7.3.1 Expansion adiabatique d'une bulle de gaz
2.7.3.2 Expansion anisotherme d'une bulle
2.8 Conclusion
3 De l'expansion d'un système de bulles µa l'expansion d'une structure de mousse
3.1 Introduction
3.2 Expansion d'un système de bulles dans une matrice liquide
3.2.1 Approche pleinement multidomaine
3.2.2 Approche formellement multidomaine
3.2.2.1 Discrétisation
3.2.2.2 Algorithme de reconstruction des bulles
3.2.3 Application: simulation de l'expansion d'un système de bulles
3.2.3.1 Interaction de deux bulles
3.2.3.2 Interaction de trois µa neuf bulles
3.2.3.3 Structure de Kelvin
3.3 Du volume représentatif de la structure d'une mousse au volume de calcul
3.3.1 Dé¯nition et existence d'un volume représentatif
3.3.2 Modélisation d'un volume représentatif
3.3.2.1 Condition aux bords du domaine de calcul
3.4 Simulation de l'expansion d'un échantillon de mousse
3.4.1 Expansion du domaine de calcul: prise en compte du changement d'échelle
3.4.1.1 Discrétisation: vitesse de maillage
3.4.1.2 Validation: expansion d'une structure régulière
3.4.1.3 Conclusion
3.4.2 Expansion d'une structure 2D de mousse
3.4.3 Expansion d'une structure 3D de mousse
3.4.4 Expansion anisotherme d'une structure de mousse
3.4.4.1 Approche pleinement multidomaine
3.4.4.2 Approche formellement multidomaine
3.4.4.3 Simulation anisotherme de l'expansion d'une structure de mousse
3.5 Conclusion
4 De l'échelle microscopique µa l'échelle macroscopique
4.1 Construction du modèle physique et numérique
4.2 Détermination de la viscosité d'un volume re-présentatif de mousse
4.2.1 Dépendance de la viscosité µa la structure
4.2.2 Dépendance de la viscosité µa la densité de bulles
4.2.3 Expression de la viscosité d'une mousse
4.3 Couplage micro-macro
4.3.1 Modèle analytique du taux d'expansion du gaz
4.3.2 Expression du taux d'expansion d'une mousse
4.4 Simulation macroscopique de l'expansion d'une mousse
4.4.1 Expansion fermée
4.4.2 Expansion libre
4.5 Couplage thermo-mécanique
4.5.1 Expansion libre anisotherme
4.6 Conclusion
A Equation de transport d'un domaine
B Dérivée du volume d'un domaine animé d'une vitesse
Bibliographie

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