Andrieu, Laetitia (2004) Stochastic programming with probabilistic constraint. PhD thesis Mathématiques et informatique, ENPC.

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Abstract

La décision dans l'incertain est un theme de recherche particulièrement actif à l'heure actuelle, en raison notamment de ses nombreuses applications dans différents domaines de l'ingéniérie (télécommunications, transports,...), de la gestion et de la finance, etc. La formulation de ces problèmes en termes de problèmes d'optimisation sous contraintes est une approche classique. Cependant, dans un contexte aléatoire (ou stochastique), la nature des contraintes prises en compte requiert une attention particulière :
-les contraintes à satisfaire "presque sûrement" sont généralement irréalistes ou anti-économiques (on ne dimensionne pas les réseaux pour écouler le traffic des heures de pointe de l'année), en dehors bien sûr des relations mathématiques qui représentent les lois de la Physique ;
-les contraintes à satisfaire "en espérance", quoique mathématiquement agréables, n'ont pas de signification pratique très utile dans la mesure où le respect d'une inégalité sur l'espérance ne garantit rien sur la fréquence des dépassements de cette inégalité;
-les contraintes à satisfaire avec une certaine probabilité sont généralement celles qui ont le plus de signification pratique, mais elles sont dificiles à traiter mathématiquement;
-d'autres mesures de risque ont été récemment proposées CVaR, ordres stochastiques,...), notamment dans le domaine de la finance, pour aller dans le sens d'un traitement mathématique plus facile (préservation de la convexité par exemple), mais avec une certaine perte de l'interprétation intuitive qu'on peut leur donner.
Sur le plan théorique, l'une des difficultés fondamentales que soulève le traitement des contraintes en probabilité est que ces contraintes s'expriment essentiellement comme l'espérance d'une fonction indicatrice d'ensemble, fonction à la fois non convexe et discontinue: le traitement de telles quantités par des méthodes d'approximation stochastique est donc très difficile. Dans cette thèse, trois voies sont explorées pour contourner ces difficultés :
-le recours à d'autres formulations du risque qui amènent à des problèmes mathématiques plus simples ;
-des méthodes d'intégration par parties ou de changement de variables dans le calcul de l'espérance permettent, sous certaine condition, de remplacer la fonction indicatrice par sa primitive, évidemment plus régulière, et donc plus facile à traiter du point de vue de l'approximation stochastique: on obtient ainsi des stimateurs non biaisés mais présentant une certaine variance ;
-des méthodes de "lissage" remplaçant la fonction indicatrice par une approximation "adoucie", ce qui introduit un certain biais dans l'estimation, biais que l'on cherche ensuite à faire tendre asymptotiquement vers zéro.
Ces méthodes sont évaluées et comparées à la fois sur les plans théorique et numérique, en utilisant pour cela deux exemples issus l'un d'un problèeme de parcours optimal avec risque et l'autre d'un problème d'investissement en finance.

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