Boussetta, Ramzy (2005) Estimateurs d'erreur et ramaillage adaptatif: application à la simulation 3D des procédés de mise en forme des matériaux. PhD thesis Mécanique Numérique, ENSMP - CEMEF Centre de Mise en Forme des Matériaux, ENSMP.

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Abstract

La simulation numérique par la méthode des éléments finis de tout problème physique s'appuie sur le maillage associé à la géométrie du domaine de calcul. Dans le cadre des problèmes de la mise en forme des matériaux, le maillage qui suit les grandes déformations de la pièce dégénère rapidement. La simulation de tels problèmes nécessite donc la génération de manière automatique de nombreux maillages dont la qualité conditionne la précision des calculs. L'objectif de cette étude est le développement d'une procédure d'adaptation de maillage entièrement automatique permettant le contrôle de l'erreur de discrétisation spatiale et le pilotage de l'étape de remaillage au cours des calculs.
Une première partie de ce travail est consacrée à l'étude et l'évaluation numérique des estimateurs d'erreur de type Zienkiewicz-Zhu. Initialement développés pour des problèmes 2D d'élasticité, ces estimateurs sont étendus aux problèmes 3D non linéaires avec des matériaux incompressibles. L'objectif de cette première étude est le développement d'un estimateur fiable et efficace pour le contrôle d'erreur dans le cadre des problèmes de la mise en forme des matériaux.
Une fois l'erreur estimée, il est possible de contrôler la qualité de la solution en calculant la taille optimale de chaque élément du maillage. Ceci revient à construire un maillage optimal, soit au sens d'une précision imposée ou au sens de la taille maximale du problème étudié. Il s'agit ainsi, dans cette deuxième partie, de développer une stratégie d'adaptation de maillage, pilotée par l'estimation d'erreur, qui soit efficace et robuste pour la simulation numérique des problèmes industriels de la mise en forme.

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Table of content

Table des matières
Introduction générale - 11
Chapire 1
Problème mécanique: formulation et méthode de résolution - 15
1.1 Modélisation mécanique du forgeage - 17
1.1.1 Équation de l'équilibre dynamique - 17
1.1.2 Équation de l'incompressibilité - 18
1.1.3 Les conditions aux limites - 18
1.1.4 Les lois de comportement - 19
1.1.4.1 Lois rhéologiques - 19
1.1.4.2 Lois de frottement - 25
1.1.5 Le problème mécanique à résoudre - 26
1.2 Discrétisation du problème mécanique - 27
1.2.1 Formulation faible - 27
1.2.2 Discrétisation spatiale - 27
1.2.3 Discrétisation temporelle - 30
1.2.4 Traitement du contact - 31
1.3 Résolution numérique du problème discret - 32
1.4 Remaillage et transport des variables - 32
1.4.1 Transport P1 - 33
1.4.2 Transport P0 - 34
Chapitre 2
Estimation d'erreur - 37
2.1 Introduction - 39
2.1.1 Définition de l'erreur - 39
2.1.2 Mesure de l'erreur - 39
2.2 Méthodes d'estimation d'erreur - 41
2.2.1 Estimation d'erreur a priori - 41
2.2.2 Estimation d'erreur a posteriori - 42
8 Table des matières
2.2.2.1 Problème d'élasticité linéaire - 43
2.2.2.2 Efficacité d'un estimateur d'erreur - 43
2.2.2.3 Estimateurs d'erreur basés sur le calcul des résidus des équations d'équilibre et les sauts des contraintes aux frontières des éléments - 44
2.2.2.4 Estimateurs d'erreur basés sur le concept de l'erreur en relation de comportement
472.2.2.5 Estimateurs d'erreur basés sur la comparaison à une contrainte continue - 49
2.2.2.6 Choix d'un estimateur pour la mise en forme - 52
Chapitre 3
Maillage et adaptation - 55
3.1 Introduction - 57
3.2 Méthodes de génération de maillage d'un domaine à partir du maillage de sa frontière - 57
3.2.1 Méthode frontale - 57
3.2.2 Méthode de type Octree - 59
3.2.3 Méthode de type Delaunay - 60
3.2.3.1 Définitions - 60
3.2.3.2 Méthode de maillage de Delaunay - 60
3.2.4 Méthode de maillage par optimisation topologique - 61
3.2.4.1 Topologie de maillage - 62
3.2.4.2 Critère de volume minimal - 62
3.2.4.3 Génération de maillage par le mailleur topologique - 63
3.2.4.4 Remaillage de la surface et couplage avec le volume - 65
3.2.4.5 Adaptation de maillage: carte de taille - 66
3.3 Techniques d'adaptation de maillage - 67
3.3.1 h- adaptation - 67
3.3.2 r-adaptation - 68
3.3.3 p-adaptation - 69
3.3.4 hp-adaptation - 70
3.4 Stratégies d'optimisation du maillage - 70
3.4.1 Stratégie d'optimisation pour une précision imposée - 70
3.4.2 Stratégie d'optimisation pour un nombre d'éléments maximal imposé - 72
3.5 Traitement de la singularité du problème - 73
3.5.1 Identification des singularités et calcul des taux de convergence réels - 74
3.5.2 Atténuation de l'effet de la singularité par itérations de maillages adaptatifs
74Chapitre 4
Techniques de recouvrement - 77
4.1 Introduction - 79
9 Table des matières
4.2 Technique SPR (Superconvergent Patch Recovery) - 79
4.2.1 Principe de la technique - 79
4.2.2 Recouvrement des contraintes par la technique SPR - 81
4.2.3 Recouvrement SPR sur la frontière du domaine - 84
4.2.4 Technique SPR améliorée - 84
4.2.5 Synthèse - 88
4.3 Technique des différences finies locales - 88
4.3.1 Principe de la technique - 88
4.3.2 Définition du voisinage différences finies - 91
4.3.3 Synthèse - 92
4.4 Technique MPR (Minimal Patch Recovery) - 93
4.4.1 Principe de la technique - 93
4.4.2 Recouvrement MPR sur la frontière du domaine - 94
4.4.3 Synthèse - 96
4.5 Technique REP (Recovery by Equilibrium in Patches) - 97
4.5.1 Principe de la technique - 97
4.5.2 Recouvrement REP sur la frontière du domaine - 100
4.5.3 Technique REP modifiée - 100
4.5.4 Technique REP améliorée: REP2 - 101
4.5.5 Synthèse - 102
4.6 Conclusions - 103
Chapitre 5
Estimateurs d'erreur de type Z²: évaluation et étude d'efficacité - 105
5.1 Introduction - 107
5.2 Efficacité des estimateurs d'erreur en élasticité - 107
5.2.1 Présentation du problème d'élasticité étudié - 107
5.2.2 Étude numérique - 109
5.2.2.1 Tests de convergence de la méthode des éléments finis - 110
5.2.2.2 Choix du nombre de voisins pour le recouvrement LO - 110
5.2.2.3 Etude locale - 112
5.2.2.4 Etude globale - 115
5.2.2.5 Application à l'adaptation de maillage et comparaison des estimateurs - 118
5.2.2.6 Synthèse - 120
5.3 Efficacité des estimateurs d'erreur en viscoplasticité - 121
5.3.1 Présentation des problèmes de viscoplasticité étudiés - 121
5.3.1.1 Problème 1: écrasement d'un lopin cubique entre tas plats - 121
5.3.1.2 Problème 2: filage d'une barre - 123
10 Table des matières
5.3.2 Étude numérique - 124
5.3.2.1 Étude locale - 124
5.3.2.2 Étude globale - 126
5.3.2.3 Application à l'adaptation de maillage et comparaison des estimateurs - 128
5.3.2.4 Synthèse - 132
Chapitre 6
Remaillage adaptatif: applications - 133
6.1 Introduction - 135
6.2 Vers une stratégie d'optimisation fiable pour la mise en forme des matériaux
1356.3 Applications - 140
6.3.1 Forgeage d'un triaxe - 140
6.3.1.1 Remaillage adaptatif dans la pièce à forger - 140
6.3.1.2 Remaillage adaptatif dans la pièce et les outils - 145
6.3.2 Forgeage d'un engrenage - 148
6.3.3 Filage à travers une filière ellipsoïdale - 152
6.3.4 Forgeage du panneau de commande d'ouverture du train avant d'un avion
(A 320) 156
6.3.5 Problème de poinçonnement d'une tôle - 160
Conclusions et perspectives - 163
Annexes - 167
Bibliographie - 179

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