Benito Garcia-Morales, Marta (2003) Non stationnarité dans les modèles de type booléen: application à la simulation d'unités sédimentaires. PhD thesis Géostatistique, ENSMP.

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Abstract

Given the important economic stakes involved in the oil industry, there is a real need for a description of the geological structure of oil reservoirs and of the petrophysical properties of the constituting rocks. Reservoir modelling consists in making up numerical models representing the heterogeneities of the reservoir at different scales. The Boolean model is frequently used to design a lithological model of the reservoir internal architecture both at the scale of the genetic unit and at the granulometric scale inside the reservoir. However, Boolean models present a major problem when applied to the modelling of reservoirs having a non stationary distribution of their constituting lithofacies.
Lithofacies proportions give information about the spatial distribution of these lithofacies. They are an efficient tool for detecting a non stationarity. They also make it possible to quantify the geological information of the deposits. They are therefore an important constraint to respect in order to obtain simulations that are geologically realistic.
In this work, we have integrated into the Boolean model the information contained in the proportions. The problem to be solved is the inference of the model parameters. Two aspects have been considered. First, we have defined the inference problem from a theoretical point of view by establishing the relationship between experimental information and the model parameters. Secondly, we have implemented a computing tool to automatically pass from the proportion data to the model parameters.
To do that, we propose a method of inference based on a deconvolution process. This method enables us to introduce the information of the proportions in the Boolean model. As a result, simulations can reproduce a non stationary distribution of the heterogeneities in the sedimentary unit. By construction, these simulations then respect the lateral and vertical distribution of the proportions into the unit as well as the global mean value of the proportion over the studied volume. As this global value is related to petrophysical parameters, it is important to recover it in simulations.

Table of content

Introduction - 9
I Introduction à la théorie des ensembles aléatoires. Modèle booléen - 11
1 Ensembles aléatoires - 15
1.1 Ensembles fermés aléatoires (EFA) - 16
1.2 Fonction de répartition d'un ensemble fermé aléatoire - 17
1.2.1 Quelques propriétés des ensembles fermés aléatoires - 18
1.2.2 Translation, dilatation, erosion - 19
1.2.3 Mesures et transformations sur les ensembles fermés aléatoires - 21
1.3 Ensembles fermés aléatoires stationnaires et isotropes - 22
2 Processus de Poisson - 25
2.1 Processus ponctuels - 25
2.1.1 Ensemble fermé aléatoire versus mesure de comptage - 26
2.1.2 Moments et mesures des moments - 27
2.1.3 Stationnarité et isotropie - 28
2.1.4 Ergodicité - 28
2.2 Processus de Poisson - 28
2.2.1 Processus de Poisson stationnaire - 28
2.2.2 Processus de Poisson général: non stationnaire ou régionalisé - 30
3 Modèle booléen - 33
3.1 Définition du modèle booléen - 34
3.1.1 Stationnarité, isotropie et ergodicité - 34
3.1.2 Propriétés de stabilité - 34
3.2 Capacité de Choquet du modèle booléen - 35
3.2.1 Une propriété fondamentale du modèle booléen - 36
3.2.2 Applications de la propriété fondamentale: cas stationnaire - 37
3.3 Simulation d'un modèle booléen - 38
II Inférence des paramètres du modèle - 43
4 Description des variables expérimentales - 47
4.1 Proportions - 47
4.1.1 Proportion expérimentale d'un faciès - 48
4.1.2 Probabilité ponctuelle associée au modèle booléen: capacité de Choquet ponctuelle - 49 4.2 Probabilité ponctuelle associée à l'objet - 52
4.2.1 Deux cas élémentaires: parallélépipède et demi-ellipse - 56
4.3 Conclusions - 63
5 Inférence de l'intensité de Poisson - 65
5.1 Méthode de déconvolution pour l'obtention de l'intensité - 65
5.1.1 Filtre de déconvolution: filtre de Wiener - 66
5.1.2 Interprétation du bruit - Paramètre - 67
5.1.3 Étude de sensibilité - 69
5.2 Aspects pratiques - 83
5.2.1 Traitement des valeurs négatives de l'intensité - 83
5.2.2 Calcul du nombre d'objets à simuler - 88
5.2.3 Définition du domaine de calcul - 91
5.3 Conclusions. Avantages et limitations de la méthode - 92
6 Information sur les objets - 95
6.1 Cas stationnaire - 95
6.1.1 Étude des variogrammes verticaux du modèle - 96
6.1.2 Étude des variogrammes verticaux expérimentaux: indicatrices des simulations et indicatrices aux puits - 99
6.1.3 Conclusions - 02
6.2 Cas non stationnaire - 104
6.2.1 Étude des variogrammes verticaux expérimentaux des proportions - 105
6.2.2 Étude des variogrammes verticaux des indicatrices aux puits - 107
6.2.3 Conclusions - 109
III Mise en œuvre - 111
7 Application à un cas fictif 3D - 113
7.1 Description des données - 114
7.1.1 Proportions - 114
7.1.2 Description des objets - 120
7.2 Obtention de l'intensité. Simulations - 122
7.3 Analyse des composantes connexes - 137
7.4 Résultats et conclusions - 138
8 Application à un cas réel: Permien de l'Utah - 141
8.1 Cadre du travail - 142
8.1.1 Contexte géologique - 142
8.1.2 Transect régional - 144
8.1.3 Description des données - 145
8.1.4 Définition de l'unité de travail - 148
8.1.5 Calcul de la grille de proportion - 152
8.1.6 Définition des objets - 154
8.2 Calcul de l'intensité - 155
8.3 Simulations - 158
8.4 Discussion et conclusions - 165
Conclusions - 173
9 Conclusions et perspectives - 173
Annexes - 181
A Calcul de la probabilité associée à une demi-ellipse - 181
B Convolution et corrélation - 187
B.1 Convolution - 187
B.2 Corrélation - 188
C Rappels de la théorie de Fourier - 191
C.1 La transformée de Fourier (TF) - 191
C.1.1 Propriétés de la TF - 191
C.1.2 Théorème de convolution - 192
C.1.3 Formule de Parseval - 193
C.1.4 Échantillonnage - 193
C.2 Transformée discrète de Fourier (DFT) - 194
C.2.1 Transformée rapide de Fourier (FFT) - 194
D Développement du calcul pour l'obtention du filtre de Wiener - 195
E Description du programme - 197
Bibliographie 201

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